Kalimat Berkuantor

BAB I

PENDAHULUAN

1.1  Latar Belakang

Suatu kenyataan yang tidak dapat dibantah bahwa logika, penalaran dan argumentasi sangat sering digunakan dalam kehidupan sehari-hari, didalam mata pelajaran matematika maupun mata pelajaran lainnya.

Oleh karena itu logika sangat berguna bagi mahasiswa, selain meningkatkan daya fikir yang terjadi saat menurunkan dan menarik kesimpulan dari pernyataan yang diketahui benar dianggap benar, namun dapat diaplikasikan didalam kehidupan nyata.

Tujuan pembelajaran matematika tentang logika pada dasarnya adalah agar mahasiswa dapat menggunakan aturan-aturan dasar logika matematika untuk menarik suatu kesimpulan

Adanya hal tersebut kompetensi yang hendak dicapai yaitu agar para mahasiswa memiliki kemampuan dan ketrampilan dalam hal mengembangkan dan memanfaatkan logika yang dimiliki serta menambah pengetahuan tentang elajaran matematika diskrit tepatnya kalimat berkuantor dan aplikasi matematika dalam bahasa pemrograman. 

1.2  Rumusan Masalah

Adapun pokok permasalahan yang akan kami bahas pada makalah Matematika Diskrit yang berjudul  “Kalimat Berkuantor” antara lain :

1.      Apa itu kuantor ganda?

2.      Apa hubungan antara Logika Matematika dengan bahasa pemrograman?

3.      Bagaimana aplikasi logika matematika dalam bahasa pemrograman?

1.3  Tujuan

Tujuan yang ingin kami capai dalam penulisan makalah atematika Diskrit yan berjudul “Kalimat Berkuantor”  antara lain :

1.      Dapat memahami rumus-rumus kuantor ganda sekaligus cara menghitungnya

2.       Mengetahui hubungan antara logika metematika dengan bahasa pemrograman

3.      Mengetahui aplikasi logika metematika dalam bahasa pemrograman 

BAB II

PEMBAHASAN

2.1 Kuantor Ganda

Domain atau semesta pembicaraan penafsiran kuantor sangat penting untuk menentukan jenis kuantor yang akan digunakan serta mempengaruhi penulisan simbolnya.

Contoh

“Setiap orang mencintai Jogjakarta”

Selanjutnya, dapat ditulis simbolnya dengan logika predikat (∀x)C(x,j)

Simbol tersebut dapat dibaca

“Untuk semua y, y mencintai Jogjakarta”.

Persoalan yang terjadi adalah domain penafsiran seseorang untuk y bisa berbeda-beda. Ada orang yang menganggap y ádalah manusia, tetapi mungkin orang lain menganggap y bisa mahluk hidup apa saja, misal ayam, bebek, bahkan mungkin y bisa menjadi benda apa saja.

Tentu saja domain penafsiran semacam ini kacau karena yang dimaksudkan pasti hanya orang atau manusia. Oleh karena itu, untuk memastikan bahwa domain penafsiran hanya orang, penulisan simbol harus diperbaiki seperti berikut :

(∀y)(O(y)⇒ C(y,j) )

Sekarang simbol tersebut dapat dibaca

”Untuk semua y jika y adalah orang, maka y mencintai Jogjakarta”.

Untuk menulis simbol yang tepat, memang harus menempatkan terlebih dahulu domain penafsiran karena domain penafsiran Sangat mempengaruhi penulisan dan sekaligus menghindari terjadinya ambiguitas.

Contoh domain penafsiran yang bersifat umum antara lain manusia, binatang, tumbuh-tumbuhan, bilangan prima, bilangan asli, dan sebagainya, yang nantinya akan menggunakan kuantor universal. Akan tetapi jika tertentu saja atau tidak semuanya, misalnya beberapa manusia, atau satu manusia saja, akan memakai kuantor yang berbeda yaitu kuantor eksisitensial.

Persoalan selanjutnya adalah bagaimana jika memakai dua kuantor yang berbeda pada satu penulisan simbol yang berasal dari satu pernyataan. Apakah domain penafsiran juga akan berbeda atau sama?.

Contoh

“Setiap orang dicintai oleh seseorang”

Dengan notasi simbol logika predikat, akan ditullis seperti berikut

(∀x)(∃y)C(y,x)

Yang dapat dibaca

”Untuk semua x, terdapat y dimana y mencintai x”

X dan Y sebenarnya menunjuk domain penafsiran yang sama yaitu orang, dan pada simbol tersebut ternyata dibedakan. Penulisan tersebut lebih baik lagi jika bisa memakai variable yang sama. Maka pernyataan diatas secara lengkap dapat ditulis :

(∀x)(O(x)⇒ (∃x)(O(y)∧ C(y,x) ) )

Sekarang perhatikan contoh penulisan pernyataan berikut jika menggunakan angka atau bilangan

(∀x∈real)(∀y∈real)S(x,y)

misalkan S(x,y)=x+y=y+x dan dapat dibaca

“ Untuk semua bilangan real x dan semua bilangan real y, adalah benar x+y=y+x”

Sekarang perhatikan jika pengkuantoran ternyata melibatkan lebih dari satu jenis kuantor dengan contoh pernyataan berikut :

“Terdapat bilangan positif x sedemikian sehingga untuk semua bilangan positif y berlaku y”

Pernyataan di atas dapat ditulis:

(∃x)(∀y)(y

Sebelumnya telah dijelaskan bahwa kuantor universal (∀) dan kuantor eksistensial (∃) diperlakukan sebagai perangkai unary dan kuantor juga memiliki urutan lebih tinggi dibandingkan dengan perangkai binary.

Contoh

H(x)∶ x hidup

M(x)∶ x mati

(∀x)(H(x) ∨ M(x)) dibaca “Untuk semua x, x hidup atau x mati”

Akan tetapi jika ditulisnya (∀x)(H(x)) ∨ M(x)

maka dibaca

“Untuk semua x hidup, atau x mati”.

 Pada “x mati”, x tidak terhubing dengan kuantor universal, yang terhubung hanya”x hidup”. Sekali lagi, perhatikan penulisan serta peletakan tanda kurungnya.

Secara umum, hubungan antara penempatan kuantor ganda adalah sebagai berikut :

(∀x)(∀y) P(x,y) ≡ (∀y)(∀x) P(x,y)

(∃x)(∃y) P(x,y) ≡ (∃y)(∃x) P(x,y)

(∃x)(∀y) P(x,y) ≡ (∀y)(∃x) P(x,y)

Ingkaran kalimat berkuantor ganda dilakukan dengan cara yang sama seperti ingkaran pada kalimat berkuantor tunggal.

￢[(∃x)(∀y) P(x,y)] ≡ (∀x)(∃y) ￢P(x,y)

￢[(∀x)(∃y) P(x,y)] ≡ (∃x)(∀y) ￢P(x,y)

Contoh:

1.      Tentukan negasi dari logika predikat berikut ini :

(∀x)(∃y) x=2y dengan domainnya adalah bilangan bulat

(∀x)(∃y) x=2y dibaca “Untuk semua bilangan bulat x, terdapat bilangan bulat y yang memenuhi x=2y.

Maka negasinya :￢[(∀x)(∃y) x=2y] ≡ (∃x)(∀y) x≠2y

2.      Ada toko buah yang menjual segala jenis buah. Dapat ditulis (∃x)(∀y) x menjual y.

Maka negasinya ￢[(∃x)(∀y) x menjual y] ≡ (∀x)(∃y) x tidak menjual Dibaca “Semua toko buah tidak menjual paling sedikit satu jenis buah”.

3.      Mengu bah pernyataan ke dalam logika predikat yang memiliki kuantor ganda Misal : “Ada seseorang yang mengenal setiap orang”

Langkah-langkahnya :

Jadikan potongan pernyataan ”x kenal y”, maka akan menjadi K(x,y).K(x,y)∶ x kenal y

Jadikan potongan pernyataan ”x kenal semua y”, sehingga menjadi (∀y) K(x,y)

Jadikan pernyataan “ada x, yang x kenal semua y”, sehingga menjadi (∃x)(∀y) K(x,y)

2.2 Aplikasi Logika Matematika Dalam Bahasa Pemrograman

Logika metematika banyak digunakan dalam program-program logika seperti bahasa prolog. Pelacakan program dalam bahsa prolog dilakukan secara analog dengan penelusuran logika.

Contoh

Perhatikan tumpukan kotak-kotaak berwarna berikut ini !

g

b1

w1

w2

b2

b3

 

g = kotak abu-abu       ;  bi = kotak biru ke-1

w1 = kotak putih ke-1 ;  b2 = kotak biru ke-2

w2 = kotak putih k-2   ;  b3 = kotak biru ke-3

stamemen di bawah ini menggambarkan keadaan tupukan kotak dan warnanya dalam bahasa prolog :

Atas (b, b1)     ;  warna (, abu-abu)     ;  warna (b1, biru) 

Atas (b1, w1)  ;  warna (b2, biru)        ;  warna (b3, biru)

Atas (w2, b2)  ;  warna (w1, putih)     ;  warna (w2, putih)

Atas (b2, b3)              

Atas (x. z) if Atas (x, y) and Atas (y, z)

Statemen Atas (x, y) digunakan untuk menyatkan bahwa dalam tumupkan, kotak x berada diatas koak y, statemen warna (x, y) menyatakan bahwa x berwarna y

Statemen Atas (x, z) if atas (x, y) and Atas (y, z) analog dengan pernyataan

Dalam simbol logika: (Atas (x, y)) ^ (Atas(y, z)) => Atas (x, z)

Atau dengan kata lain : jika x berada di atas y dan y berada diatas ,

Maka x berada di atas z

Contoh

Apakah jawaban program terhadap pertanyaan-pertanyaan dibawah ini?

a.       ? warna (b1, biru)

b.      ? Atas (x, w1)

Penyelesaian :

Prolog akan melacak jawaban pertanyaan berdasarkan fakta-fakta yang ada :

a.       Jawaban “yes” karena sesuai dengan fakta (b1 berwarna biru)

b.      Pemrograman menyatakan, untuk blok x yang manakah sehigga predikat “x diatas w1” bernilai benar.

Jawaban yang dikeluarkan adalah x= b1 dan x = g.

Jawaban x = b1 didapat dari kenyataan secara langsung pada blok Atas (b1, w1).

Jawaban x = g didapat dari statemen :

                  Atas (g, b1)

                  Atas (b1, w1), serta

                  Atas (x, z) if Atas (x, y) and Atas (y, z) 

2.3 Hubungan Antara Logika Matematika dengan Bahasa Pemrograman

 Berbagai aplikasi dan program di komputer tidak lepas dari penerapan aplikasi matematika diskrit, diantaranya adalah operasi Aljabar Boolean, Teori Graf, logika simbolik,  peluang dan statistika.

Secara umum matematika mendasari lahirnya ilmu komputer atau teknologi informasi, dan ilmu komputer itu sendiri mempermudahkan dalam pengerjaan dan  pemahaman ilmu matematika. Jadi, kontribusi matematika dalam teknologi informasi dan komunikasi sungguh sangat besar, bahkan keduanya bisa saling timbal balik dan bisa saling menguntungkan. Oleh karena itu, aplikasi-aplikasi atau penerapan matematika diskrit dapat kita lihat sebagai berikut:

a.       Perkembangan dalam lingkup memori merupakan bagian dari kontribusi matematika diskrit dalam ilmu komunikasi dan teknologi informasi. Memori menyimpan berbagai bentuk informasi sebagai angka biner. Informasi yang  belum berbentuk biner akan dipecahkan dengan sejumlah instruksi yang mengubahnya menjadi sebuah angka atau urutan angka-angka. 

b.      Matematika diskrit mengajarkan kita untuk berpikir kritis terhadap bagaimana agar teknologi informatika itu terus berkembang sejalan dengan berkembangnya ilmu matematika. Pengolahan angka-angka dalam matematika diskrit membentuk suatu rumus pemrograman yang digunakan dalam pengembangan ilmu komputer.

c.       Teknik informatika dan matematika diskrit sangat erat hubungannya. Karena inti dasar teknik informatika adalah pembuatan software dan di dalam pembuatannya itu membutuhkan perhitungan dan logika yang pasti. Oleh karena itu, matematika diskrit sangat penting dalam rangka sebagai dasar dan pengembangan dalam majunya teknik informatika khususnya pembuatan software.

d.      Perkembangan teknik informatika juga akan mempermudah pengolahan  perhitungan matematika menjadi lebih sistematis.

e.       Pengembangan software dan hardware yang dilakukan oleh manusia juga menerapkan ilmu matematika disktri di dalamnya, contohnya adalah  perkembangan processor dalam komputer. Processor menggunaan operasi matematika untuk menerjemahkan perintah dari user. Processor semakin dikembangkan agar proses penerjemahan suatu perintah menjadi lebih cepat dan efisien.

f.       Dalam matematika diskrit dan ilmu komputer, teori graf adalah cabang kajian yang mempelajari sifat-sifat graf. Secara informal, suatu graf adalah himpunan

g.      Dalam matematika diskrit, aljabar boolean merupakan aljabar yang berhubungan dengan variabel-variabel biner dan operasi-operasi logik. Varibael-variabel diperlihatkan dengan huruf-huruf alfabet, dan tiga operasi dasar AND, OR, dan  NOT. Contoh penggunannya adalah sebagai dasar operasi hitung (aljabar)

h.      Dalam matematika diskrit, teori informasi adalah disiplin ilmu dalam bidang matematika terapan yang berkaitan dengan kuantisasi data sehingga data atau informasi itu dapat disimpan dan dikirimkan tanpa kesalahan melalui suatu kanal komunikasi.

Ilmu dasar statistika dalam matematika diskrit banyak diterapkan dalam berbagai disiplin ilmu, baik ilmu-ilmu alam maupun sosial. Statistika juga digunakan dalampemerintahan untuk berbagai macam tujuan seperti sensus penduduk dan jajak  pendapat (polling). Dalam bidang informatika, statistika dapat diterapkan dalam  pengenalan pola maupun kecerdasan buatan. . (Ernayanti, 2012)

BAB III

PENUTUP

3.1  Kesimpulan

Logika simbol yang menggunakan bahasa matematika, yaitu dengan menggunakan lambang-lambang atau simbol. Mata pelajaran logika logika matematika mempelajari beberapa hal yang berkaitan dengan logika, seperti logika dalam pemrograman dan logika dalam rangkaian digital.

3.2   Saran

Kami sebagai penulis sangat menyadari bahwa terdapat kesalahan-kesalahan penulisan dalam makalah Sila-sila Pancasila Sebagai Pemersatu Sistem. Oleh karena itu, saya sebagai penulis mengharapkan tanggapan berupa kritik dan saran yang membangun. Sehingga sebagai penulis dapat membuat makalah yang lebih baik kedepannya.

Kami sebagai penulis, mengharapkan setiap Mahasiswa maupun pembaca dapat memahami materi yang telah disampaikan, yaitu kuantor ganda dan aplikasi matematika dalam bahasa pemrogaraman

DAFTAR PUSTAKA

education. (2011, januari).

Matematika Kalimat Berkuantor. Retrieved from matematikaeducation: http://www.matematikaeducation-matematika.blogspot.co.id/2011/01/logika-matematika-kalimat-berkuantor.html?m=1

Ernayanti, E. (2012, November minggu).

penerapan matematika diskrit pada program komputer. Retrieved november 11, 2017, from tugasmatdiserniernayanti: http://tugasmatdiserniernayanti.blogspot.co.id/2012/11/normal-0-false-false-false-en-us-x-none,html?m=1

Rheinhard. (n.d.).

kalmat berkuantor. Retrieved from academia.edu: http://www.academia.edu/11753342/Nama_RHEINHAND_NIM